Question

已知且，函数，.

（1）指出的单调性（不要求证明）；

（2）若有求的值；

（3）若，求使不等式恒成立的的取值范围.

Answer

（1）上的减函数；（2）；（3）.

【解析】

(1)对分类讨论，然后说明函数的单调性；

(2)构造新函数，说明的奇偶性，再根据已知条件即可计算出的值；

(3)根据的奇偶性，将不等式变形，再根据的单调性即可将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，再利用二次函数的求解出结果.

（1）的定义域为，

当时，，是减函数，所以是减函数，

当时，，是增函数，所以是减函数，

综上可知：是上的减函数；

（2）令，因为，所以是奇函数，

又因为即也是奇函数，所以是上的奇函数，

所以，所以，

所以；

（3），因为与均是上的减函数和奇函数，

所以也是上的减函数和奇函数，

又因为恒成立，所以恒成立，

所以恒成立，所以恒成立，所以，

所以.