Question

已知函数的图像与x轴相邻的两交点间的距离为，把函数的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数，现有如下命题：

①在上是减函数；②其图像关于点对称；

③函数是奇函数；④当时，函数的值域为.

其中真命题的个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

C

【解析】

根据题意得到周期，从而得到的值，得到的解析式，再根据平移，得到的解析式，然后求出的图像与性质，对四个命题进行判断，得到答案.

因为图像与x轴相邻的两交点间的距离为，

所以，即，

所以.

所以

，

把函数的图象沿轴向左平移个单位，

得

，

即.

令，，

得，，

所以的单调递减区间，，

当，得单调递减区间为，

所以在上是减函数，

所以①正确；

令，，

所以，，

所以的对称中心为，

所以时，是的一个对称中心，

所以②正确；

，定义域，

，

所以，

所以为偶函数，

所以③不正确；

当时，，

，

即函数的值域为.

所以④正确.

故选：C.