Question

已知函数，，.

（1）当时，若在区间上单调递减，求a的取值范围；

（2）求满足下列条件的所有实数对：当a是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

Answer

（1）；（2），

【解析】

（1），对开口方向，结合对称轴与区间的关系，得出关于的不等式，即可求解；

（2）根据已知可得，取得最小值，分析具有最大值的条件，求出 的取值范围，进而得出是开口向下的抛物线，求出最大值时的且等于，得出关系，利用范围，即可求解.

【解析】
（1）当时，，

若，，

则在上单调递减，符合题意.

若，则或，∴或，

综上，

（2）若，，

则无最大值，故，∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足，

即且，

此时，时，有最大值.

又取最小值时，，

依题意，有，

则，

∵且，∴，

得，此时或.

∴满足条件的实数对是，.