Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A₁O⊥平面DBC．

（Ⅰ）求证：BC⊥A₁D；

（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；

（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

【解析】

试题（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．

（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．

（Ⅲ）由=，能求出点C到平面A1BD的距离．

证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，

又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，

∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．

（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，

∴A1D⊥平面A1BC，

又∵A1D⊂平面A1BD，

∴平面A1BC⊥平面A1BD．

【解析】
（Ⅲ）设C到平面A1BD的距离为h，

∵=，

∴=，

又∵=S△DBC，，∴．

∴点C到平面A1BD的距离为．