Question

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形.其中真命题的个数有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

Answer

D

【解析】

根据所给的定义，运用分类讨论的方法、取特殊值法进行逐一判断即可.

①∵当为有理数时，；当为无理数时，，

∴当为有理数时，；

当为无理数时，，

即不管是有理数还是无理数，均有，故①正确；

②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意，都有，故②正确；

③若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，故③正确；

④取，，，可得，，，

∴，，，恰好为等边三角形，故④正确.

故选：D.