Question

已知二次函数.

(1)若是的两个不同零点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

(2)设,函数,存在个零点.

(i)求的取值范围;

(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.

Answer

(1) 不存在.理由见解析；

(2) (i) (ii)

【解析】

(1) .假设存在实数满足题意，由韦达定理可得：，解得,又，即，综合可得假设不成立；

(2) (i)作出函数的图象，观察图像即可求出的取值范围;

(ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.即，因为，代入运算可得解.

解:(1)依题意可知,.假设存在实数,使成立.

因为有两个不同零点，.

所以,解得.

由韦达定理得

所以

解得,而,故不存在.

(2)因为,设,则,

当时,;当时,.

(i)作出函数的图象，如图所示,所以.

(ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.

由,得

由,得

所以

因为，

所以当时，取得最大值.

故的最大值为.