Question

如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，.、分别为和的中点.平面与棱所在直线交于点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）判断点是否与点重合.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）与重合.

【解析】

（1）在平面中，利用菱形的性质可以证明出，结合直棱柱的性质、线面垂直的性质定理可以证明出，这样利用线面垂直、面面垂直的判定定理证明出平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值；

（3）通过空间向量数量积公式可得，利用线面的相交关系，可以证明出点与点重合.或者通过设点的坐标，通过空间向量数量积公式，由，可以求出的坐标，这样就可以证明出点与点重合.

证明：（1）如图所示，连结，，

∵四边形为菱形，

且，∴，

又为等边的边的中点，

∴.

又直四棱柱中，平面，

平面，

∴.

又，平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）法1：

∵，，三线垂直，

∴以为原点，，，所在的直线为，，轴建系，则

，，，，，

，，，

设平面的法向量为，则

，

令得.

设直线与平面所成角为，

则

.

∴直线与平面所成角正弦值为.

法2：

如图所示，连结，交于点.连接，交于，

∵四边形为菱形，∴，

又，底面，∴平面.

易得，，三线垂直，如图所示.

以为原点，，，所在直线为，，轴建系，

则，，，，，

，，

，，

设平面的法向量为，

则，即，

令得，

∴，

设直线与平面所成的角为，

则.

（3）法1：，，

∴，

又，

∴，

又平面，∴平面，

即平面，

由已知平面，

且平面，

∴与点重合.

法2：设.

则，

∴，即，

∴，又，

即与重合.