Question

无穷数列满足：，且对任意正整数，为前项，，…，中等于的项的个数.

（1）直接写出，，，；

（2）求证：该数列中存在无穷项的值为1；

（3）已知，求.

Answer

（1）；（2）证明见解析过程；

（3）

【解析】

（1）根据题意直接求解即可；

（2）运用反证法证明即可；

（3）先求出前若干项发现规律，分类讨论求亲解即可.

（1）因为，所以由题意可得：；

（2）假设中只出现有限个1，当妨设最后出现1的项是第项，即.

当时，显然，若是数列中，最大的项，所以数列中存在无数项是相等的，不妨设下标由小及大的这些项为：，

设数列中，等于的项共有项，到，所以有

，这与相矛盾，故假设中只出现有限个1不成立，即该数列中存在无穷项的值为1；

（3）通过计算可求出数列前30项值如下：

通过上表可知：从第11项起有以下规律：

，

当时，；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

当时，

综上所述：