已知函数. (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)若存在两个极值点,,证明...

已知函数.

(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)若存在两个极值点,,证明:.

(Ⅰ)切线方程为y=0；(Ⅱ)证明见解析【解析】（Ⅰ）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；（Ⅱ）由题意存在两个极值点,,求导令导函数得0可得,，将之代入转化成证明，再由函数的单调性即可证明. (Ⅰ)当k=2时,,即有f(1)=0，所以,f′(1)=0. 所以切线方程为y=0； (Ⅱ)因为，存在两个极值点,, 所以,是的根，设>，, 所以,，，解得，因为，因为，，，即证，即证又，则转化为，即证，由(Ⅰ)可知,当k=2时,, 在（0，+∞）单调递减，而，因为，，即恒成立，故得证.

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考点分析：

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某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.

(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;

(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?