在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立...

在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的直角坐标.

(Ⅰ) C1的普通方程,C2的直角坐标方程；(Ⅱ) |MN|取得最小值,此时M(,). 【解析】 (Ⅰ)利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (Ⅱ) 设M(cosα,sinα)，则|MN|的最小值为M到距离最小值，利用三角函数知识即可求解． (Ⅰ)曲线的参数方程为(为参数),普通方程为，曲线的极坐标方程为，即，直角坐标方程为，即； (Ⅱ)设M(cosα,sinα)，则|MN|的最小值为M到距离，即，当且仅当α=2kπ-(k∈Z)时, |MN|取得最小值, 此时M(,).

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考点分析：

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已知函数.

(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)若存在两个极值点,,证明:.

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某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.

(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;

(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?