Question

已知函数.

(Ⅰ)当时,解不等式;

(Ⅱ)若,对任意都有恒成立,求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ) (−∞,−5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]

【解析】

(Ⅰ)由题知当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义能求出不等式的解集．
(Ⅱ) 由,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，转化成函数最值问题建立不等关系式，由此能求出a的取值范围．

(Ⅰ)∵函数，

∴当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，

根据绝对值的几何意义：

|x+3|+|x+1|>6可以看作数轴上的点x到点−3和点−1的距离之和大于6，

则点x到点−3和点−1的中点O的距离大于3即可，

∴点x在−5或其左边及1或其右边，

即x<−5或x>1.

∴不等式的解集为(−∞,−5)∪（1,+∞).

(Ⅱ) ∵,对任意都有，

只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.

由可得，

，

设，根据二次函数性质，

，

∴，

解得，

又，

∴

∴a的取值范围是(0,6].