Question

已知函数.

（1）若函数的图象与x轴相切，求实数a的值；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer

（1）1（2）当或时，函数有唯一零点；当或时，函数有两个零点.

【解析】

（1）令，求切点，再根据求的值；

（2），当时讨论函数的单调性，求零点个数，当时，判断函数的单调性，可知函数的单调性，并得到函数的最大值，设，根据（1）的单调性，再讨论函数的零点个数.

（1），令，则，

因为函数的图象与x轴相切，所以，

即，

令，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，所以，

所以有唯一解，即实数a的值为1.

（2），

①当时，，函数在上单调递增，且，函数有唯一零点；

②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

，

由（1）的单调性知：

（ⅰ）当时，，所以函数只有一个零点；

（ⅱ）当时，，，

所以函数在上有一个零点，，

令，则，

所以函数在上单调递增，又，故

当时，，所以，

所以函数在上有一个零点，

所以函数在上有两个零点；

（ⅲ）当时，，，

所以函数在上有一个零点，

当时，，，

所以函数在上有一个零点，

所以函数在上有两个零点，

综上，当或时，函数有唯一零点；

当或时，函数有两个零点.