Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；

（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断在上是否为有界函数；

（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数的取值范围；

（3）通过分离常数法求的值域，利用新定义进而求得的解析式．

（1）当时，，由于在上递减，

∴函数在上的值域为，故不存在常数，使得成立，∴函数在上不是有界函数

（2）在上是以3为上界的有界函数，即，令，则，即

由得，

令，在上单调递减，所以

由得，

令，在上单调递增，所以

所以；

（3）在上递减，

，即，

当时，即当时，

当时，即当时，

∴.