Question

已知函数，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围__________。

Answer

(-3，-1)

【解析】

设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．

设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），

则6x2﹣3，

化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，

令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，

则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，

则x＝0，x＝1．

∴g（x）在（1，+）上单增，在（0，1）上单减，

且g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，

又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，

则（t+3）（t+1）＜0，

解得，﹣3＜t＜﹣1．

故答案为(-3，-1).