Question

如图，已知直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，点在直线上运动，且．

(1)证明：无论取何值，总有平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

(1)见解析；(2)存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为．

【解析】

(1)以为正交基底建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，由求出点坐标，然后证明，即可；

(2)只需根据条件出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式并结合平面与平面的夹角为，建立方程求解即可得出结论．

（1）如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则,，，，，，

由，可得点，

所以，．

又，所以，，

所以，，又，所以平面，

所以无论取何值，总有平面 ．

（2）设是平面的法向量，，，

则，即，得，

令，所以是平面的一个法向量．

取平面的一个法向量为．

假设存在符合条件的点，则，

化简得，解得或（舍去）．

综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为．