Question

椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．

(1)求椭圆的方程；

(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线，的斜率分别为，，若，证明为定值，并求出这个定值．

Answer

(1)；(2)；(3)见解析，定值为．

【解析】

(1)将代入椭圆方程可得，从而可得，再结合及，即可求椭圆的方程；

(2)设，分别求出直线，的方程，利用角平分线的性质：角平分线上任一点到角两边的距离相等，列出关于方程，结合消去，将用表示，利用的有界性即可求出的范围；

(3)将直线方程与椭圆的方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，因与椭圆有且只有一个公共点，故由，可求出，再利用斜率公式求出，即可求出定值．

(1)由于，将代入椭圆方程，得．

由题意知，即．

又，，所以，．

所以椭圆的方程为．

(2)设，又，，所以直线，的方程分别为

，．

由题意知．

由于点在椭圆上，所以．

所以．

因为，，可得，

所以，因此．

(3)设，则直线的方程为．

联立得，

整理得．

由题意，即．

又，所以，故．

由(2)知，

所以，

因此为定值，这个定值为．