Question

设函数.

（1）若在点处的切线为，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）若，求证：在时，.

Answer

(1) ，,(2) 当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；（3）见解析．

．

【解析】

（1）∵，∴，

又在点的切线的斜率为，∴，∴，

∴切点为把切点代入切线方程得：；

（2）由（1）知：

①当时，在上恒成立，

∴在上是单调减函数，

②当时，令，解得：，当变化时，随变化情况如下表：当时，单调减，当时，，单单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.

(3)当时，要证，即证，令，只需证，∵由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，，∴，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，，又，等号不成立，∴.