Question

如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若与平面所成角为，求的长．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

第一问借助于三角形的中位线构造出一个平行四边形，得到线线平行的结论，之后借助于线面平行的判定定理得到结果；第二问借助于勾股定理得到线线垂直的关系，之后利用线线垂直，结合面面垂直的判定定理得到结果；第三问利用线面角的大小，结合题中的条件，把要求的线段放到一个三角形中，利用相关结论求得结果.

（1） 证明：取PC的中点N，连接MN，ND，M，N为PB，PC中点 ，由已知，，四边形AMND为平行四边形，，平面，平面

平面

（2） 底面，底面，

底面为直角梯形，，

又，，，

，平面，平面

平面平面

（3）作于，平面平面且交线为

平面，连接为在平面上的投影，

，，底面且

，，又，与M重合

，M为PB 中点，三角形CBP为等腰三角形，

，，的长为