Question

已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足，求直线的方程.

Answer

(1) （x﹣2）2+y2=9 (2) x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0

【解析】

试题

（1）可设圆心坐标为，由直线与圆相切，知圆心M到切线的距离等于半径，可求得，从而得圆的标准方程；

（2）注意分类讨论，当直线斜率不存在时，代入求出A、B两点坐标，检验是否符合题意；当直线斜率存在时，设斜率为，得直线方程为，代入圆的方程，由韦达定理得，代入已知等式可求得的值，从而得直线方程．

试题解析：

（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），

∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切

∴=3．

解得a=2，或a=﹣8（舍去），

所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9

（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），

此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意

当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，

由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，

整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0.........................................................（1）

所以

由已知得：

整理得：7k2﹣24k+17=0，∴

把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，

判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，

即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0

综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0