Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明.

Answer

（1）；（2）在上单调递减，证明见解析.

【解析】

（1）令,则,根据奇函数性质可求得当时的解析式.即可得函数的解析式;

（2）根据函数解析式可判断函数在上单调递减.根据定义法, 任取,并作差,化简变形即可证明函数的单调性.

（1）令,则,

所以,

又由奇函数的性质可知,

∴时,,

故.

（2）在上单调递减.

证明:任取,则

,

∵,

故,,,

则,

故,

即,

∴在上单调递减.