Question

如图所示，在直三棱柱中，,,，点是的中点．

（1）求证：；    

（2）求证：平面；

（3）求异面直线与所成角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由勾股定理计算得AC⊥BC，再由直棱柱性质得C1C⊥AC，最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，由三角形中位线性质得DE∥AC1，再根据线面平行判定定理得结论；（3）因为DE∥AC1，所以∠CED为AC1与B1C所成的角．再根据解三角形得所成角的余弦值．

(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，

又四边形BCC1B1为正方形．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(3)∵DE∥AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，

CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.