Question

已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2．

（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；

（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程．

Answer

(1)x2+y2=1(2) x=1或3x-4y+5=0

【解析】

本题考查点轨迹方程的求法，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑切线的斜率不存在的情况，这是易错点

（1）设P（x，y），由|AB|=2，且P为AB的中点，可得|OP|=1，由两点间的距离公式求得点P的轨迹方程．

（2）①当切线的斜率不存在时，由条件易得x=1符合条件；②当切线的斜率存在时，设出切线方程，由切线的性质可解得斜率k的值，用点斜式求得切线方程．

解: (1) 方法一：设P(x , y ),

∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，

∴∣OP∣=1 ……………………2分

∴点P的轨迹方程为x2+y2=1． ……………………4分

方法二：设P(x , y )， ∵P为AB的中点，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分

又∵∣AB∣=2 ∴(2x)2+(2y)2=2

化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1． ……………4分

(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,

由条件易得 x=1符合条件; ………………5分

②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=0

由得k=, ∴切线方程为y-2=(x-1)

即 3x-4y+5=0

综上，过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程为：

x=1 或3x-4y+5=0 ……………………8分