Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x²+y²＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．

（1）若PM⊥PN，求点P坐标；

（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；

（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．

Answer

（1）P（﹣2，2）；（2）[﹣4，0]；（3）3

【解析】

（1）由PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，可得到圆心距离，由此可求得点坐标；

（2）设P（x，x+4），过P作圆的切线PC，PD，若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，则∠CPD≥600，把它用坐标表示后可得范围；

（3）设P（x0，x0+4），得以OP为直径的圆的方程与x2+y2＝4联立（相减）可得MN所在直线方程，由直线方程与x2+y2＝4联立消元后用韦达定理可求得点的横坐标，再得纵坐标，消去参数后得点轨迹方程，轨迹是圆（去掉原点），求出点坐标后，由点与圆的位置关系可得最大值．

（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，则P到圆心的距离为，∵P在直线x﹣y+4＝0上，设P（x，x+4）

故|OP|，解得x＝﹣2，故P（﹣2，2）；

（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，过P作圆的切线PC，PD，∴∠CPD≥600，∴∠CPO≥300，

在直角三角形△CPO中，∵300≤∠CPO＜900，

∴sin∠CPO＜1，即1，∴2OP≤4，

∴24，解得﹣4≤x≤0，∴点P的横坐标的取值范围为：[﹣4，0]；

（3）设P（x0，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，

化简得，与x2+y2＝4联立，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+4）y＝4，

联立，得，

，∴，所以，

∴Q的坐标为（，），

由，得，，代入化简可得Q点的轨迹方程为：，圆心C（，），半径R．

其中原点（0，0）为极限点（也可以去掉）．由题可知T（﹣4，0），

∴|TC|．∴|TQ|≤|TC|+R＝3．∴线段TQ长的最大值为3．