Question

如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.

（1）证明：平面.

（2）若，当三棱锥的体积最大时，求到平面的距离.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理，可得平面，进而有，再由已知可得，，即可得证结论；

（2）由体积公式，要使三棱锥的体积最大时，为弧的中点，求出，进而求出，用等体积法，即可求解.

（1）证明：因为平面平面是正方形，

平面平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为点在以为直径的半圆弧上，所以.

又，所以平面.

（2）当点位于的中点时，的面积最大，

三棱锥的体积也最大.

因为，所以，

所以的面积为，

所以三棱锥的体积为.

因为平面，所以，

，

的面积为.

设到平面的距离为，

由，得，

即到平面的距离为

.