Question

已知函数有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）求，即求有两不相等的正根，转化为一元二次方程有两个不等地正根，利用根的判别式以及韦达定理，即可求解；

（2）由（1），，设，可求出，，

运用韦达定理求出，构造函数，

通过求导，求出在单调性，即可得出结论.

（1）.

因为有两个不同的极值点，

且，，所以有两个不同的正根，

，解得，

的取值范围；

（2）因为，不妨设，

由（1）得，时，，

时，或，

的递增区间是，递减区间是，

所以，，

所以

.

令，则，

所以在上单调递增，

所以，

即的极大值与极小值之和的取值范围是.