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已知分别为椭圆的左、右焦点,为该椭圆的一条垂直于轴的动弦,直线与轴交于点,直线与...

已知分别为椭圆的左、右焦点,为该椭圆的一条垂直于轴的动弦,直线轴交于点,直线与直线的交点为.

1)证明:点恒在椭圆.

2)设直线与椭圆只有一个公共点,直线与直线相交于点,在平面内是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.

 

(1)见解析(2)存在, 【解析】 (1)根据题意求得的坐标,设出的坐标,求得直线的方程,由此求得的坐标,代入椭圆方程的左边,化简后得到,由此判断出恒在椭圆上. (2)首先判断直线的斜率是否存在.然后当直线斜率存在时,设出直线的方程,判断出的位置并设出的坐标.联立直线的方程和椭圆方程,化简后利用判别式等于零求得的关系式,进而求得的坐标,结合点坐标以及,利用列方程,结合等式恒成立求得的坐标. (1)证明:由题意知,设,则. 直线的方程为,直线的方程为, 联立可得,,即的坐标为. 因为, 所以点恒在椭圆上. (2)【解析】 当直线的斜率不存在时,不符合题意.不妨设直线的方程为,由对称性可知,若平面内存在定点,使得恒成立,则一定在轴上,故设, 由可得. 因为直线与椭圆只有一个公共点, 所以, 所以. 又因为,所以, 即. 所以对于任意的满足的恒成立, 所以解得. 故在平面内存在定点,使得恒成立.
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已知函数有两个不同的极值点.

1)求的取值范围;

2)求的极大值与极小值之和的取值范围.

 

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生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.

1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;

 

生二孩

不生二孩

合计

头胎为女孩

60

 

 

头胎为男孩

 

 

 

合计

 

 

200

 

 

2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户,进一步了解情况,在抽取的5户中再随机抽取3户,求这3户中恰好有2户生二孩的概率.

附:

0.15

0.05

0.01

0.001

2.072

3.841

6.635

10.828

 

 

(其中.

 

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如图,是正方形,点在以为直径的半圆弧上(不与重合),为线段的中点,现将正方形沿折起,使得平面平面.

1)证明:平面.

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1)求

2)若,求的面积.

 

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