Question

如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.

（1）证明：平面.

（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.

（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）证明：因为平面平面是正方形，

所以平面.

因为平面，所以.

因为点在以为直径的半圆弧上，所以.

又，所以平面.

（2）【解析】
显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.

不妨设，记中点为，

以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则令，得.

设平面的法向量为，

则令，得，

所以.

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.