Question

已知函数有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.

（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.

Answer

（1）（2）（3）没有最小值.见解析

【解析】

（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.

（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.

（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.

（1）定义域为，.

因为有两个不同的极值点，且，

所以有两个不同的正根，，解得.

（2）因为，不妨设，所以，，

所以

.

令，则，

所以在上单调递增，所以，

即的极大值与极小值之和的取值范围是.

（3）由（2）知.因为，

所以，

所以.

因为，所以

.

令，则，

所以在上单调递减，无最小值，

故没有最小值.