Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足 ，.

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围．

Answer

（1）an=n；（2）（-1，+∞）．

【解析】

（1）由 an2＝Sn+Sn﹣1（n≥2），可得an﹣12＝Sn﹣1+Sn﹣2 （n≥3）．两式相减可得 an﹣an﹣1＝1，再由a1＝1，可得{an}通项公式．（2）根据{an}通项公式化简bn和bn+1，由题意得bn+1﹣bn＞0恒成立，分离变量即可得a的范围．

【解析】
（1），=Sn-1+Sn-2，（n≥3）．

相减可得：，∵an＞0，an-1＞0，∴an-an-1=1，（n≥3）．

n=2时，=a1+a2+a1，∴=2+a2，a2＞0，∴a2=2．因此n=2时，an-an-1=1成立．

∴数列{an}是等差数列，公差为1．∴an=1+n-1=n．

（2）=（n-1）2+a（n-1），

∵{bn}是递增数列，∴bn+1-bn=n2+an-（n-1）2-a（n-1）=2n+a-1＞0，

即a＞1-2n恒成立，∴a＞-1．

∴实数a的取值范围是（-1，+∞）．