Question

已知函数，.

（1）求的最大值和最小值；

（2）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.

Answer

（1）最大值为，最小值为；（2）.

【解析】

（1）利用二倍角的余弦公式、诱导公式以及辅助角公式化简函数的解析式为，由计算出的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值和最小值；

（2）由，可得出，令，将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想能求出实数的取值范围.

（1），

，，，

因此，函数在区间上的最大值为，最小值为；

（2）由，即，得.

令，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.

因此，实数的取值范围是.