Question

用一根长为分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是分米,用表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)．

（1）试求函数的解析式及其定义域；

（2）当该框架的底面宽取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．

Answer

(1)答案见解析；(2)当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．

【解析】

（1）由题意,当长方体框架的底面宽是分米时,其长是分米,高是分米,

所以．

由,解得,即函数的定义域为．

（2）法1：因为,

所以 ,

当且仅当,即时,有最大值,

最大值为．

即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．

法2：因为

所以

易得当时,；当时,．

从而在区间上单调递增,在区间上单调递减,

故当时,有最大值,最大值为．

即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．