Question

已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）把代入函数解析式，求出函数的导数，得到函数单调性，从而得到函数的最值；

（2）求出函数的导数，令，对其求导，通过讨论的范围可得原函数的单调性，结合可得实数的取值范围．

【解析】
（1）当时，，∴，

当时，；当时，

故在上单调递减，在上单调递增，

∴，

（2）由条件得，

令，则.

①当即时，在上，，单调递增，

∴，即，∴在上为增函数，

∴，

∴时满足条件.

②当即时，令，解得，在上，，单调递减，

∴当时，有，即，

∴在上为减函数，∴，不合题意.

综上实数的取值范围为.