Question

已知函数，.

（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围;

（Ⅱ）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）.

Answer

(1);(2)见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意，知的定义域是，

则，

令，则=0，解得x=1或x=.

∵函数在上单调递增，

∴ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减，符合题意；

ⅱ）当时，在和上单调递增，在上单调递减，符合题意；

ⅲ）当时，在上单调递增，符合题意；

ⅳ）当时，在和上单调递增，在上单调递减，∵函数在上单调递增，∴ ，

综上所述，的取值范围是.

（Ⅱ）由题意，得，

∴.

当时，，在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．

令，解得；令，解得，故在上单调递增，在上单调递减．

不妨设，，且.

要证，需证.即证.

又，所以只需证.

即证：当时，．

设，

则.

∴在上单调递减.

又，

故当时，，原不等式成立．