Question

已知为奇函数，为偶函数，且．

（1）求及的解析式及定义域；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

（3）如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题（1），；（2）－恒成立，则，利用换元，解得；（3）要使有两个零点，即使得有一个零点，即，所以

试题解析：

（1）因为是奇函数，是偶函数，

所以，， ，①

令取代入上式得，

即，②

联立①②可得，，

（2）因为，所以，

设，则 ，因为的定义域为， ，

所以，，

即， ，

因为关于的不等式－恒成立，则，，故的取值范围为.

(3)

要使有两个零点，

即使得有一个零点，（t=0时x=0，y只有一个零点）

即