Question

已知抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.

（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p ，

所以|AB|＝2p＝4，

所以抛物线的方程为y2＝4x．

（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

因为直线l与抛物线有两个交点，

所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，

则，y1y2＝-4，

所以．

又点O到直线l的距离，

所以，解得，即．