Question

如图在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，AB=3BE=3，CD=2，AD=2.将△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面BCDE.

(1)证明：BC⊥平面ACD；

(2)求直线AE与平面ABC所成角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）在直角梯形ABCD中，由平面几何知识可证，从而由面面垂直性质定理得线面垂直，可得线线垂直，于是可证线面垂直；

（2）以D为原点，过D作CB的平行线为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法示得线面角的正弦值．

(1)证明：在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，

AB=3BE=3，CD=2，AD=2.

∴，，

在直角梯形中可得，

∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，

∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE.

∴AD⊥平面BCDE，∵CB⊂平面BCDE，∴AD⊥BC，

∵AB⊥BC，∴CD⊥BC，

又CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD.

(2)【解析】
以D为原点，过D作CB的平行线为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，

A(0，0，2)，E(，，0)，B(，2，0)，C(0，2，0)，

(，﹣2)，(0，﹣2，2)，(，0，0)，

设平面ABC的法向量(x，y，z)，

则，取y=1，则(0，1，)，

设直线AE与平面ABC所成角为θ，

则直线AE与平面ABC所成角的正弦值为sinθ.