Question

已知椭圆E：的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点A在椭圆E上，∠F₁AF₂＝60°，△F₁AF₂的面积为4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P，Q两点，证明：点O到直线PQ的距离为定值，并求出这个定值.

Answer

(1)1；(2)证明见解析，.

【解析】

（1）由面积可得，再结合余弦定理可得与的关系式，由离心率再得一个关系式，可求得，得椭圆方程；

（2）射线的斜率不存在时，是椭圆顶点，求出方程后可得原点到它的距离，当斜率存在且不为零时，设直线PQ为：y=kx+m，P(x，y)，Q(x1，y1)，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，并计算，再代入可得的关系，当然要注意，然后由这个关系可求得原点到直线的距离．

(1)由题意得 sin60°=4，∴=16，

再由余弦定理：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，

即：4c2=4a2﹣316，∴c2=a2﹣12，又离心率e，b2=a2﹣c2，∴a2=48，b2=12，

所以椭圆E的方程：1；

(2)证明：当射线的斜率不存在时，由椭圆的对称性得，设P，Q分别是上顶点，右顶点，

则直线OQ为：，即x+2y﹣4，这时原点到直线PQ的距离d；

当斜率存在且不为零时，设直线PQ为：y=kx+m，P(x，y)，Q(x1，y1)，

与椭圆联立得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣48=0，△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣48)>0，

即m2<48k2+12，x+x1=，xx1，yy1=k2xx1+km(x+x1)+m2，

由题意OP⊥OQ，∴0，∴xx1+yy1=0，∴5m2=48+48k2，

O到直线PQ的距离d，

综上所述，可证明点O到直线PQ的距离为定值 .