Question

已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为______.

Answer

【解析】

设椭圆方程是 ,双曲线方程是 ,由椭圆和双曲线定义可得:,求出,利用余弦定理,化简的表达式,利用柯西不等式,即可求得答案.

设椭圆方程是 ,双曲线方程是

由椭圆和双曲线定义可得:

即可求得:

在中由余弦定理可得:

即

利用柯西不等式

即

即

可得,

故,当且仅当 取等号.

的最小值为

故答案为:.