Question

如图,在长方体中满足,若点在棱上点在棱上,且.

（1）求证:;

（2）当是的中点时,求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）要证明,只需证明平面,将证线线垂直转化为证线面垂直,即可求得答案;

（2）以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,根据面面角的向量求法即可求得答案.

（1） 平面,平面,

.

又,且,,平面,

平面,

,平面,

.

（2）由（1）知,即,

为的中点,

,得,

,.

以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系.

点,,,,

向量,,

设平面的法向量为,则

即

可取.

设平面的法向量为,

则即

可取,

,

由题意可知二面角的平面角是钝角,

二面角的平面角的余弦值为.