Question

已知函数的图象为不间断的曲线，定义域为，规定:

①如果对于任意，都有，则称函数是凹函数.

②如果对于任意，都有，则称函数是凸函数.

（1）若函数(且)是凹函数，试写出实数的取值范围;(直接写出结果，无需证明)；

（2）判断函数是凹函数还是凸函数，并加以证明；

（3）若对任意的且，，试证明存在，使.

Answer

（1）；（2）凸函数，证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据对数函数的图象性质，结合新定义，直接求解即可；

（2）利用作差比较法，根据新定义，直接判断、证明即可；

（3）根据等式，构造新函数，利用零点存在原理直接证明即可.

（1）由函数图象可知：；

（2）因为，故，

所以，则函数是凸函数.

（3）设，

因为

，

又因为，

所以，所以在区间上有零点，

即存在，使.