Question

已知函数.

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；

（3）当时，设，若存在，使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）;(3).

【解析】

（1）根据不等式的解集可以得到相对应的不等式，再结合已知不等式直接求解即可；

（2）分类讨论，结合一次函数的性质和二次函数的性质直接求解即可；

（3）(方法1)对函数的解析式进行配方，利用零点存在原理，结合一元二次方程根的分布性质直接求解即可；

(方法2) 因为存在，使得成立，所以关于的方程有两个不等实根，且至少有一根在内，这样结合一元二次方程根的分布性、函数的单调性直接求解即可.

（1）因为

，

所以

（2）当时，不等式.

若，则不等式不恒成立.

则由题意可得解得

即的取值范围是

（3）(方法1).

因为存在，使得成立，所以函数在区间内的值有正有负.

所以必须有，解得或 ①

若，即，亦即，则，于是必须满足，所以. ②

若，即，则，必有，不满足条件.

若，即，则，不满足条件.

由①②解得的取值范围是

(方法2)因为存在，使得成立，

所以关于的方程有两个不等实根，且至少有一根在内.

由，解得或 ①

当时，，

由得，令 ，所以，，该函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以②

由①②得的取值范围是.