Question

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．

（Ⅰ）由得即. 直线的普通方程为， 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得.

（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，

，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得， .

法2：当时点，易知点在直线上. 又，

所以点在圆外.联立消去得，.

不妨设，所以.