已知函数． (I)若，判断上的单调性； (Ⅱ)求函数上的最小值； (III)当时...

已知函数．

(I)若，判断上的单调性；

(Ⅱ)求函数上的最小值；

(III)当时，是否存在正整数n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，说明理由．

(I)见解析；(Ⅱ)见解析； (III)见解析【解析】（I）根据f′（x）的符号得出结论；（II）讨论a的范围，得出f（x）在[1，e]上单调性，根据单调性得出最小值；（III）化简不等式可得n+xlnx，根据两侧函数的单调性得出两函数在极值点处的函数值的大小，从而得出n的范围．（Ⅰ）当时，由于，故，在单调递增. (Ⅱ) 当时，在上单调递增，，当时，由解得（负值舍去）设若，即，也就是时，单调递增，，若，即时单调递减，单调递增. 故若即时单调递减，综上所述：当时，的最小值为1；当时，的最小值为当时，的最小值为. （Ⅲ）当时，不等式为恒成立由于，故成立，，又所以n只可能为1或2. 下证时不等式恒成立事实上，设，又设在单调递增故即所以当时，单调递减，时，单调递增，故即时，，对恒成立，所以存在正整数n，且n的最大值为2，满足题意.

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考点分析：

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