Question

已知正项数列的首项，前n项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；

（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明:  数列中只存在三项．

Answer

（1） （2） （3）见解析

【解析】

(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义以及通项公式得结果，(2)先根据条件解得，再根据数列单调性得恒成立，最后根据最值得结果， (3)先反设超过项，再通过方程组求解公比，通过矛盾否定假设，即得结果.

【解析】
（1） ，故当时，

两式做差得，

由为正项数列知，，即为等差数列，故

（2）由题意， ，化简得 ，所以 ，

所以，

由题意知

恒成立，即恒成立，所以，解得

（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，

即

带入，可得 （*），

若则，即为常数数列，与条件矛盾;

若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项.