Question

    如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB.作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD.

Answer

详见解析

【解析】

试题证明线面垂直，可利用线面垂直的判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.本题利用两个等腰三角形三线合一，取AB的中点F，连接DF、CF，得出线面垂直，从而证明AB与CD垂直，又利用CD与BE垂直，从而得出线CD与面ABE垂直，得出CD与AH垂直，又AH与BE垂直，于是证明出线面垂直.

试题解析：

取AB的中点F，连接CF、DF.

∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB.

∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.

∵CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD.

又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.

∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH.

∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.