Question

已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点.

（1）求外接圆的方程；

（2）若直线与相切，求直线的方程；

（3）若直线与相交于两点，且，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）判断出三角形是等腰直角三角形，由此求得圆心和半径，进而求得的方程.

（2）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

（3）当直线斜率不存在时，求得弦长符合题意.当直线斜率存在时，设出直线的方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得直线的方程.

（1）因为，所以，所以，且，所以三角形是等腰直角三角形，且为斜边，因而圆的圆心为的中点，半径为，所以圆的方程为.

（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意.当直线的斜率存在时，设，即，由题意知，解得或.故直线的方程为或.

（3）当直线斜率不存在时，将代入，解得，即，则，符合题意.

当直线斜率存在时，设，即，圆心到直线的距离为，由得，解得，故，即.

所以直线的方程为或.