Question

已知圆，点P是曲线上的动点，过点P分别向圆N引切线（为切点）

（1）若，求切线的方程；

（2）若切线分别交y轴于点，点P的横坐标大于2，求的面积S的最小值.

Answer

（1）或；（2）

【解析】

（1）分成切线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式，求得切线的方程.

（2）设出点的坐标，求得切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径列式.求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值.

（1）依题意，圆的圆心为，半径为.因为，所以当过点的直线斜率不存在时，直线与圆相切，符合题意.当点的直线斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为，即.圆心到切线的距离，解得，此时切线方程为.

综上所述，切线方程为或.

（2）设，则，设，则，所以直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以，即.

同理，由直线与圆相切，得.

所以是方程的两根，其判别式，，则.

所以

，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.