Question

已知圆柱底面半径为1，高为，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点.

（1）求曲线的长度；

（2）当时，求点到平面的距离.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）将圆柱的一半展开,可知曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,即可求得曲线的长度.

（2）当时,以底面的圆心O为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得平面的法向量,即可求得点到平面的距离.

（1）曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,

其中,底面的半圆长为

∴的长为

（2）当时,建立如图所示的空间直角坐标系:

则有、、、,

所以、、.

设平面的法向量为,

则,代入可得,

令,得,

所以点到平面的距离为.