Question

如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．

Answer

（I）；（Ⅱ）．

【解析】

试题（I）设出，的点坐标，根据，得到，进而根据点在抛物线上，把换成，即可得出结果；（II）由，得出，设直线的方程为，与抛物线联立可得，又点到直线的距离为，所以，构造关于的函数，求导利用单调性求最值即可．

试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点，得，

设直线的斜率为，直线的斜率为，由、倾斜角互补可知，

即，

将，代入得．

（Ⅱ）设直线的斜率为，由，

得，

由（Ⅰ）得，将其代入上式得．

因此，设直线的方程为，由，消去得，

由，得，这时，，

，又点到直线的距离为，所以，

令，则由，令，得或．

当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为．

（附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）