已知函数（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：．...

已知函数

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：．

（1）.（2）见解析. 【解析】试题（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范围； ∵为数列的前项和，为数列的前项和. ∴只需证明即可. 试题解析：（1）由，得 . 整理，得恒成立，即. 令.则. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. ∴函数的最小值为. ∴，即. ∴的取值范围是. （2）∵为数列的前项和，为数列的前项和. ∴只需证明即可. 由（1），当时，有，即. 令，即得 . ∴ . 现证明，即 . 现证明. 构造函数，则 . ∴函数在上是增函数，即. ∴当时，有，即成立. 令，则式成立. 综上，得 . 对数列，，分别求前项和，得 .

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考点分析：

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响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.

（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？

（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望．